明史 志第十一　历五

大统历法三上推步

大统推步，悉本《授时》，惟去消长而已。

然《通轨》诸捷法，实为布算所须，其间次序，亦有与《历经》微别者。

如气朔发敛，《授时》原分二章，今古合为一。

《授时》盈缩差在日躔，迟疾差在月离，定朔、经朔离为二处。

今则经朔后，即求定朔，于用殊便。

其目七：曰气朔，曰日躔，曰月离，曰中星，曰交食，曰五星，曰四余。

▲步气朔发敛附洪武十七年甲子岁为元。

上距至元辛巳一百零四算。

岁周三百六十五万二千四百二十五分，实测无消长。

半之为岁周，四分之为气象限，二十四分之为气策。

日周一万。

即一百刻，刻有百分，分有百秒，以下微纤，皆以百递析。

气应五十五万零三百七十五分。

置距算一百零四，求得中积三亿七千六百一十九万九千七百七十五分，加辛巳气应五十五万零六百分，得通积三亿七千六百七十五万零三百七十五分，满纪法六十去之，余为《大统》气应。

开应一十八万二千零百七十零分一十八秒。

置中积，加辛巳闰应二十零万二千零五十分，得闰积三亿七千六百四十零万一千八百二十五分，满朔实去之，余为《大统》闰应。

转应二十零万九千六百九十零分。

置中积，加辛巳转应一十三万零二百零五分，共得三亿七千六百三十二万九千九百八十分，满转终去之，余为《大统》转应。

交应一十一万五千一百零五分零八秒。

置中积加辛巳交应二十六万零三百八十八分，共得三亿七千六百四十六万零一百六十三分，满交终去之，余为《大统》交应。

按《授时历》既成之后，闰转交三应数，旋有改定，故《元志》、《历经》闰应二十零万一千八百五十分，而《通轨》载闰应二十零万二千零五十分，实加二百分，是当时经朔改早二刻也。

《历经》转应一十三万一千九百零四分，《通轨》载转应一十三万零二百零五分，实减一千六百九十九分，是入转改迟一十七刻弱也。

《历经》交应二十六万零一百八十七分八十六秒，《通轨》交应二十六万零三百八十八分，实加二百分一十四秒，是正交改早二刻强也。

或以《通轨》辛巳三应，与《元志》互异，目为元统所定，非也。

夫改宪必由测验，即当具详始末，何反追改《授时历》，自没其勤乎？是故《通轨》所述者，乃《授时》续定之数，而《历经》所存，则其未定之初藁也。

通余五万二千四百二十五分。

朔策二十九万五千三百零五分九十三秒，一名朔宝。

半之为望策，一名交望。

又半之为弦策。

通闰一十零万八千七百五十三分八十四秒。

月闰九千零百六十二分八十二秒。

闰限一十八万六千五百五十二分零九秒。

一名闰准。

盈初缩末限八十八万九千零百九十二分二十五秒。

缩初盈末限九十三万七千一百二十零分二十五秒。

转终二十七万五千五百四十六分，半之为转中。

朔转差一万九千七百五十九分九十三秒。

日转限一十二限二十。

转中限一百六十八限零八三零六零。

以日转限乘转中。

一名限总。

朔转限二十四限一零七一一四六。

以日转限乘朔转差。

弦转限九十零限零六八三零八六五。

以日转限乘弦策。

一名限策。

交终二十七万二千一百二十二分二十四秒。

朔交差二万三千一百八十三分六十九秒。

气盈二千一百八十四分三十七秒五十微。

朔虚四千六百九十四分零七秒。

没限七千八百一十五分六十二秒五十微。

盈策九万六千六百九十五分二十八秒。

虚策二万九千一百零四分二十二秒。

土王策三万零四百三十六分八十七秒五十微。

宿策一万五千三百零五分九十三秒。

纪法六十万。

即旬周六十日。

推天正冬至置距洪武甲子积年减一，以岁周乘之为中积，加气应为通积，满纪法去之，至不满之数，为天正冬至。

以万为日，命甲子算外，为冬至日辰。

累加通余，即得次年天正冬至。

推天正闰余置中积，加闰应，满朔策去之，至不满之数，为天正闰余。

累加通闰，即得次年天正闰余。

推天正经朔置冬至，减闰余，遇不及减，加纪法减之，为天正经朔。

无闰加五十四万三六七一一六。

十二朔策纪法。

有闰，加二十三万八九七七零九。

十三朔实去纪法。

满纪法仍去之，即得次年天正经朔视天正闰余在闰限已上，其年有闰月。

推天正盈缩置半岁周，内减其年闰余全分，余为所求天正缩历。

如径求次年者，于天正缩历内减通闰，即得。

减后，视在一百五十三日零九已下者，复加朔实，为次年天正缩历。

推天正迟疾置中积，加转应，减去其年闰余全分，余满转终去之，即天正入转。

视在转中已下为疾历，已上去之为迟历。

如径求次年者，加二十三万七一一九一六，十二转差之积。

经闰再加转差，皆满转终去之，迟疾各仍其旧。

若满转中去之，为迟疾相代。

推天正入交置中积，减闰余，加交应，满交终去之，即天正入交凡日。

如径求次年者，加六千零八十二分零四秒，十二交差内去交终。

经闰加二万九千二百六十五分七十三秒，十三交差内去交终。

皆满交终仍去之，即得。

推各月经朔及弦望置天正经朔策，满纪法去之，即得正月经朔。

以弦策累加之，去纪法，即得弦望及次朔。

推各恒气置天正冬至，加三气策，满纪法去之，即得立春恒日。

以气策累加之，去纪法，即得二十四气恒日。

推闰在何月置朔策，以有闰之年之闰余减之，余为实，以月闰为法而一，得数命起天正次月算外，即得所闰之月。

闰有进退，仍以定朔无中气为定。

如减余不及月闰，或仅及一月闰者，为闰在年前。

推各月盈缩历置天正缩历，加二朔策，去半岁周，即得正月经朔下盈历。

累加弦策，各得弦望及次朔，如满半岁周去之交缩，满半周又去之即复交盈。

推初末限视盈历在盈初缩末限已下，缩历在缩初盈末限已下，各为初。

已上用减半岁周为末。

推盈缩差置初末历小余，以立成内所有盈缩加之乘之为实，日周一万为法除之，得娄数以加其下盈缩积，即盈缩差。

推各月迟疾历置天正经朔迟疾历，加二转差，得正月经朔下迟疾历。

累加弦策，得弦望及次朔，皆满转中去之，为迟疾相代。

推迟疾限各置迟次历，以日转限乘之，即得限数。

以弦转限累加之，满转中限去之，即各弦望及次朔限。

如径求次月，以朔转限加之，亦满转中去之，即得。

又法：视立成中日率，有与迟疾历较小布相近者以减之，余在八百二十已下，即所用限。

求迟疾差置迟疾历，以立成日率减之，如不及减，则退一位。

余以其下损益分乘之为实，八百二十分为法除之，得数以加其下迟疾积，即迟疾差。

推加减差视经朔弦望下所得盈缩差、迟疾差，以盈遇迟、缩遇疾为同相并，盈遇疾、缩遇迟为异相较，各以八百二十分乘之为实，再以迟疾限行度内减去八百于二十分，为定限度为法，法除实为加减差。

盈迟为加，缩疾为减，异名相较者，盈多疾为加，疾多于盈为减，缩多於迟减，迟多於缩加。

推定朔望各置经朔弦望，以加减差加减之，即为定日。

视定朔干名，与后朔同者月大，不同者月小，内无中气者为闰月。

其弦望在立成相同日日出分已下者，则退一日命之。

推各月入交置天正经朔入交凡日加二交差，得正月经朔下入交凡日。

累加交望，满交终去之，即得各月下入交凡日。

径求次月，加交差即得。

推土王用事置谷雨、大暑、霜降、大寒恒气日，减土王策，如不及减，加纪法减之，即各得土王用事日。

推发敛加时各置所推定朔弦望及恒气之小余，以十二乘之，满万为时，命起子正。

满五千，又进一时，命起子初。

算外得时不满者，以一千二百除之为刻，命起初刻。

初正时之刻，皆以初一二三四为好，于算外命之。

其第四刻为畸零，得刻法三之一，凡三时成一刻，以足十二时百刻之数。

按古因及《授时》，皆以发敛为一章。

发敛去者，日道发南敛北之细数也，而加时附焉，则又所以纪发敛之辰刻，故曰发敛加时也。

《大统》取其便算，故合发敛与气朔共为一章，或以乘除疏发敛，非其质矣。

推盈日视恒气小余，在没限已上，为有盈之气。

置策余一万零一四五六二五，以十五日除气策。

以有盈之气小余减之，余以六十八分六六以气盈除十五日。

乘之，得数以加恒气大余，满纪法去之，命甲子算外，得盈日。

求盈日及分秒，以盈策加之，又去纪法，即得。

推虚日视经朔小余在朔虚已下，为有虚之朔。

置有虚之朔小余，以六十三分九一以朔虚除三十日。

乘之，得数以加经朔大余，满纪法去之，命甲子算外为虚日。

求次虚。

置日及分秒，以虚策加之，又去纪法，即得。

推直宿置通积，以气应加中积。

减闰应，以宿会二十八万累去之，余命起翼宿算外，得天正经朔直宿。

置天正经宿直宿，加两宿策，为正月经朔直宿。

以宿策累加，得各月经朔直宿。

再以各月朔下加减差加减之，为定朔直宿。

▲步日躔周天三百六十五度二十五分七十五秒，半之为半周天，又半之为象限。

岁差一分五十秒。

周应三百一十五度一十分七十五秒。

按此系至元辛巳之周应，乃自虚七度至箕十之度数也。

洪武甲子相距一百四年，岁差已退天五十四分五十秒，而周应仍用旧数，殆传习之误耳。

推天正冬至日躔赤道宿次置中积，加周应，应减距历元甲子以来岁差。

满周天去之，不尽，起虚七度，依各宿次去之，即冬至加时赤道日度。

如求次年，累减岁差，即得。

表格略

推天正冬至日躔黄道宿次置冬至加时赤道日度，以至后赤道积度减之，余以黄道率乘之。

如赤道率而一，得数以加黄道积度，即冬至加时黄道日度。

黄赤道积度及度率，俱见《法原》。

表格略

推定象限度以冬至加时赤道日度，与冬至加时黄道日度相减，为黄赤道差。

以本年黄赤道差，与次年黄赤道相减，余以四而一，加入气象限内，为定象限度。

推四正定气日置所推冬至分，即为冬正定气，加盈初缩末限，满纪法去之，余为人正定气。

加缩初盈末限，去纪法，余为秋正定气。

加缩初盈末限，去纪法，余为次年冬正定气。

推四正相距日以前正定气大余，减次正定气大余，加六十日，得相距日。

如次正气不及减者，加六十日减之，再加六十日，为相距日。

推四正加时黄道积度置冬至加时黄道日度，累加定象限，各得四正加时黄道积度。

推四正加时减分置四正定气小余，以其初日行度乘之，如日周而一，为各正加时减分。

冬正行一度零五一零八五。

春正距夏正九十三日者，行零度九九九七零三，距九十四日者行一度。

夏正行零度九五一五一六。

秋正距冬正八十八日者，行一度零零零五零五，距八十九日者行一度。

推四正夜半积度置四正加时黄道积芭，减去其加时减分，即得。

推四正夜半黄道宿次置四正夜半黄道积度，满黄道宿度去之，即得。

推四正夜半相距度置次正夜半黄道积度，以前正夜半黄道积度减之，余为两正相距度，遇不及减者，加周天减之。

推四正行度加减日差双相距度与相距日下行积度相减，余如相距日而一，为日差。

从相距度人减去行积度者为加，从积度内减去相距度者为减。

秋正距冬至，冬至距春正八十八日，行积度九十度四零零九，八十九日行积度九十一度四零一四。

春正距夏至，夏至距秋秋正九十三日，行积度九十度五九九零，九十四日行积十五九八七。

推每日夜度置四正后每日行度，在立成。

以日差加减之，为每日行定度。

置四正夜半日度，以行定度每日加之，满黄道宿度去之，即每日夜半日度。

黄道十二次宿度

危十二度六四九一，入娵訾，辰在亥。

奎一度七三六二，入降娄，辰在戍。

奎度四五六，入大梁，辰在酉。

胃三七度七四五六，入大梁，辰在酉。

毕六度八八零五，入实沈，辰在申。

井八度三四九四，入鹑首，辰在未。

柳三度八六八零，入鹑火，辰在午。

张十五度二六零六，入鹑尾，辰在巳。

轸十度零七九七，入寿星，辰在辰。

氐一度一四五二，入大火，辰在卯。

尾三度一一五，入析木，辰在寅。

斗三度七六八五，入星纪，辰在丑。

女二度零六三八，入玄枵，辰在子。

推日躔黄道入十二次时刻置入次宿度，以入次日夜，以入次日夜半日度减之，余以日周乘之，一分作百分。

为实。

以入次日夜半日度，与明日夜半日度相减，余为法。

实如法而一，各数，以发敛加时求之，即入次时刻。

▲步月离

月平行度一十三度三十六分八十七秒半。

周限三百三十六、半之为中限，又半之为初限。

限平行度零九分六十二秒。

太阳限行八分二十秒。

上弦九十一度三十一发四十三秒太。

望一百八十二度六十二分八十七秒半。

下弦二百七十三度九十四分三十一秒少。

交终度三百六十三度七十九分三十四秒一九六。

朔平行度三百九十四度七八七一一五一六八七五。

推朔后平交日置交终分，风气朔历。

减天正经朔交凡分，为朔后平交日。

如推次月，累减交差二日三一八六九，得次月朔平交日。

不及减交差者，加交终减之，其交又在本月，为重交月朔后平交日。

每岁必有重交之月。

推平交入转迟疾历置经朔迟疾历，加入朔后平交日为平交入转。

在转中已下，其迟疾与经朔同，已上减去转中疾交迟，迟交疾。

如推次月，累减交转差三千四百二十三分七六，交差内减转差数。

即得。

如不及减，加转中减之，亦迟疾相代。

推平交入限迟疾差置平交入转迟疾历，依步气朔内，推迟疾差，那得。

推平交加减定差置平交入限迟疾差，双日率八百二十分乘之，以所入迟疾限下行度而一，即得。

在迟为加，在疾为减。

推经朔加时积置经朔盈缩历，见步气朔内。

在盈历即为加时中积，在缩历加半岁周。

如推次月，累加朔策，满岁周去之，即各朔加时中积，命日为度。

若月内有二交，后交即注前交经朔加时中积。

推正交距冬至加时黄道积度及宿次置朔后平交日，以月平行乘之为距后度，加以经朔加时中积，为各月正交距冬至加时黄道积度。

加冬至加时黄道日度，见日躔。

以黄道积度钤减之，至不满宿次，即正交月离。

如推次月，累减月平交朔差一度四六三一零二。

以交终度减天周，其数宜为一度四六四零八零。

遇重交月，同次朔。

后仿此。

▲黄道积度钤

表格略

推正交日辰时刻置朔后症交日，加经朔，去纪法，以平交定差加减之，其日命甲子算外，小余依发敛加时求之，即得正交日辰时刻。

如推次月，累加交终，满纪去之。

如遇重交，再加交终。

推四正赤道宿次置冬至赤道日度，以气象限累加之，满赤道积度去之，为四正加时赤道日度。

▲赤道积度钤表格略

推正交黄道在二至后初末限置正交距冬至加时黄道积度，在半岁周已下为冬至后，已上减去半岁周，余为夏至后。

又视二至后度分，在气象限已下为初限，已上用减半岁周，余为末限。

推次月者，若本月初限，则累减月平交朔差，余为次月初限。

不及减者，反减月平交朔差，余为次月末限。

若本月末限则累加月平交朔差，为次月天限，至满气象限，以减半岁周，余为次月初限。

推定差度置初末限，以象极总差一分六零五五零八乘之，即为定差度。

象极总差，是以象限除极差，其数宜为一十六分零五四四二。

如推次月初限则累减，末限则累加，俱以极平差二十三分四九零二加减之。

极平差，是以月平交朔差，乘象极总差，其数宜为二十三分五零四九。

推距差度置极差十四度六六，减去定差度，即得。

求次月，以极平差加减之。

初限加，末限减。

推定限度置定差度，以定极总差一分六三七一零七乘之，定极总差，是以极差除二十四度，其数宜为一度六三七一零七。

所得视正交在冬至后为减，夏至后为加，皆置九十八度加减之，即得。

推月道与赤道正交宿度正交在冬至后，置春正赤道积度，以距差度初限加末限减之，在夏至后，置秋正赤道积度，以距差初限减末限加之。

得数，满赤道积度钤去之，即得。

推月道与赤道正交后积度并入初末限视月道与赤道正交所入某宿次，即置本宿赤道全度，减去月道与赤道正交宿度，差为正后积度。

以赤道各宿全度累中之，满气象限去之，为半交后。

又满去之，为中交后。

再满去之，为半交后。

视各交积度，在半象限以焉为初限，以上覆减象限，余为末限。

推定差置每交定限度，与初末限相乘，得数，千约之为度，即得。

正交、中交后为加，半交后为减。

推月道定积度及宿次置月道与赤道各交后每宿积度，以定差加减之，为各交月道积度。

加月道与赤道正交定宿度，共为正交后宿度。

以前宿定积度减之，即得各交月道宿次。

▲活象限例

置正交后宿次，加前交后半交末宿定积度。

为活象限。

如正交后宿次度少，加前交不及数，却置正交后宿次加气象限即是。

如遇换交之月，置正交后宿次，以前交前半交末宿定积度加之，为换交活象限。

假如前交正交是轸，后交正交是角，其前交欠一轸。

求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于轸下取定积度也。

又如前交、正交是轸，后交、正交是翼，其前交多一翼。

求活象限者，置正交后宿次，不从翼下取定积度加之，仍于张下取定积度也。

推相距日置定上弦大余，减去定朔大余，即得。

上弦至望，望至下弦，下弦至朔仿此。

不及减者，加纪法减之。

推定朔弦望入盈历及盈缩定差置各月朔弦望入盈缩历，以朔弦望加减差加减之，并在步气朔内。

为定盈缩历。

视盈历在盈初限下为盈初已上用减半岁周，余为盈末限。

缩历在缩初限已下为缩初限，已上用减半岁周，余为缩末限。

依步气朔内求盈缩差，为盈缩定差。

推定朔弦望加时中积置定盈缩历，如是盈历在朔，便为加时中积，在上弦加气象限，在望加半岁周，在下弦加三象限。

如是缩历在朔，加半岁周。

在上弦加三象限，在望便为加时中积，在下弦加气象限，加后满周天去之。

推黄朔弦望加时中定积度置定朔弦望加时中积，以其下盈缩定差盈加缩之，即得。

推赤道加时积度及宿次置黄道加时定积度，在周天象限已下为至后，已上去之为分后，满两象限去之为至后，满三象限去之为分后。

置分至后黄道积度，以立成内分至后积度减之，余以其下赤道度率乘之，如黄道度率而一，得数加入分至后积度，次以所去象限合之，为赤道加时定积度。

置赤度加时定积度，加入天正冬至加时赤道日度，满赤道积度钤去之，得定朔弦望赤道加时宿次。

推正半合交后积度置定朔弦望加时赤道宿次，视朔弦望在何交后，正半、中半。

即以交生积度，在朔望加时赤道宿前一宿者加之，即为正半中交后积度，满气象限去之，为正半中换交。

推初末限视正半中交后积度，在半象已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。

推月道与赤道定差置其交定限度，与初末限相减相乘，所得，千约之为度，即定差。

在正交、中交为加。

在半交为减。

推定朔弦望加时月道宿次置定朔弦望加时月道定积度，取交后月道定积度，取交后月道定积度，在所置罕前一宿者减之，即得。

遇转交则前积度多，所置积度少为不及减。

从半转正，加其交活象限减之。

从正转半，从半转中，从中转半，皆加气象限减之。

推夜半入转日置经朔弦望迟疾历，以定朔弦望加减差加减之。

大疾历，便为定朔弦望加时入转日。

在迟历，用加转中置定朔弦望加时入转日，以定朔弦望小余减之，为夜半入转日，遇入转日少不及减者，加转终减之。

推加时入转度置定朔弦望小余，去秒，取夜半入转日下转定度乘之，万约之为分，即得。

▲迟疾转定度钤

表格略

推定朔弦望夜半入转积度及宿次置定朔弦望加时月道定积度，减去加时入转度，为夜半积度。

如朔弦望加时定积度初换交，则不及减，半正相接，用活象限，正半、中半相接，用气象限加之，然后减加时入转度，则正者为后年，后年为中，中为前半，前半为正。

置朔弦望夜半月道定积度，依推定朔弦望加时月道宿次法减之，为夜半宿次。

推晨昏入转日及转度置夜半入转日，以定盈缩历检立成日下晨分加之，为晨入转日满转终去之。

置其日晨分，取夜半入转日下转定度乘之，万约为分，为晨转度。

如求昏转日转度，依法检日下昏分，即得。

推晨昏转积度及宿次置朔弦望夜半月道定积度，加晨转度，为晨转积度。

如求昏转积度，则加昏转度，满气象限去之，则换交。

若推夜半积度之时，因朔弦望加时定积不及减转度，以半正相接，而加活象限之者，今复换正交，则以活象限减之。

置晨转积度，依前法减之，为晨分宿次。

置昏转积度，依法减之，为昏分宿次。

推相距度朔与上弦相距，上弦与望相距，用昏转积度。

望与下弦相距，下弦与朔相距，用晨转积度。

置后段晨昏转积度，视与前段同交者，竟以前段晨昏转积度减之，余为相距度。

若后段与前段接两交者，从正入半，从半入中，从中入半，加气象限。

从半入正，加活象限。

然后以前段晨昏转积度减之。

若后段与前段接三交者，其内无从半入正，则加二气象限，其内有从半入正，则加一活象限，一气象限，以前段晨昏转积度减之。

推转定积度置晨昏入转日，朔至弦，弦至望，用昏。

望至弦，弦至朔，用晨。

以前段减后段，不及减者，加二十八日减之，为晨昏相距日。

从前段下，于钤内验晨昏相距日同者，取其转定积度。

若朔弦望相距日少晨昏相距日一日者，则于晨昏相距日同者，取其转积度，减去转定极差一十四度七一五四，余为前段至后段转定积度。

▲转定积度钤以下表格略

推加减差以相距度与转定积度相减为实，以其朔弦望相距目为法除之，所得视相距度多为加差，少为减差。

推每日太阴行定度置朔弦望晨昏入转日，视迟疾转定度钤日下转定度，累日以加减差加减之，至所距日而止，即得。

推每日月离晨昏宿次置朔弦望晨昏宿次，以每日太阴行度加之，满月道宿次减之，即得。

▲赤道十二宫界宿次

表格略推月与赤道正交后宫界积度视月道与赤道正交后，各宿积度宫界，某宿次在后，即以加之，便为某宫正交后宫界积度。

求次宫者，累加宫率二十度四三八一，满气象限去之，各得某宫下半产交后宫界积度。

推宫界定积度视宫界度在半象限已下为初限，已上覆减气象限，余为末限。

置某交定限度，与初末限相减、相乘，所得，千约之为度，在正交、中交为加差，在半交为减差。

置宫界正半中交后积度，以定差加减之，为宫界定积度。

推宫界宿次置宫界定积度，于月道内取其在所置前一宿者减之之不及减者，加气象限减之。

推每月每日下交宫时刻置每月宫界宿次，减入交宫日下月离晨昏宿次。

如不及减者，加宫界宿次前宿减之，余以日周乘之，以其日太阴行定度而一，得数，又视定盈缩历取立成日下晨昏分加之。

晨加晨分，昏加昏分。

如满日周交宫在次日，不满在本日，依发敛推之，即交宫时刻。

▲步中星

推每日夜半赤道置推到每日夜半黄道，见日躔。

依法以黄道积度减之，余如黄道率而一，以加赤道积度。

又以天正科至赤道加之，如在春正后，再加一象限，夏至后加半周天，秋正后加三象限，为每日夜半赤道积度。

推夜半赤道宿度置夜半赤道度，以赤道宿度挨次减之，为本日夜半赤道宿度。

推晨距度及更差度置立成内每日晨分，以三百六十六度二十五分七十五秒乘之为实，如日周而一，为晨距度。

倍晨距度，以五除之，为更差度。

推每日夜半中星置推到每日夜半赤道宿度，加半周天，即夜半中唾积度。

以赤道度挨次减之，为夜半中星宿度。

推昏旦中星置夜半中星积度，减晨距度，为昏中星积度。

以更差度累加之，为遂更及旦中星积度。

俱满赤道宿度去之，即得。

以晨分五之一，加们为更率。

更率五而一为点率。

凡昏分，即一更一点，累加更率为各更。

凡交更即为一点，累加点率为各点。