九章算术 九章算术卷第八 方程

〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉，九斗、四分斗之一，

中禾一秉，四斗、四分斗之一，

下禾一秉，二斗、四分斗之三。

方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，於右方。

中、左禾列如右方。

以右行上禾遍乘中行而以直除。

又乘其次，亦以直除。

然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。

左方下禾不尽者，上为法，下为实。

实即下禾之实。

求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。

余如中禾秉数而一，即中禾之实。

求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。

余如上禾秉数而一，即上禾之实。

实皆如法，各得一斗。

〔二〕今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗。

下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗。

问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉实一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉实五十二分斗之四十一。

术曰：如方程。

损之曰益，益之曰损。

损实一斗者，其实过一十斗也。

益实一斗者，其实不满一十斗也。

〔三〕今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。

上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？

荅曰：上禾一秉实二十五分斗之九，

中禾一秉实二十五分斗之七，

下禾一秉实二十五分斗之四。

术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。

正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。

其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。

〔四〕今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉。

上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉。

问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉五升，

下禾一秉二升。

术曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正。

次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正。

以正负术入之。

〔五〕今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉。

下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉。

问上、下禾实一秉各几何？荅曰：

上禾一秉实八升，

下禾一秉实三升。

术曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。

次置上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正。

以正负术人之。

〔六〕今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉。

下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉。

问上、下禾实一秉各几何？

荅曰：

上禾一秉实八斗，

下禾一秉实三斗。

术曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。

次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负。

以正负术入之。

〔七〕今有牛五、羊二，直金十两。

牛二、羊五直金八两。

问牛羊各直金几何？

荅曰：

牛一，直金一两、二十一分两之一十三，

羊一，直金二十一分两之二十。

术曰：如方程。

〔八〕今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。

卖牛三、豕三，以买九羊，钱適足。

卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。

问牛、羊、豕价各几何？

荅曰：

牛价一千二百，

羊价五百，豕价三百。

术曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次牛三正，羊九负，豕三正；次牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。

以正负术入之。

〔九〕今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。

一雀一燕交而处，衡適平。

并燕、雀重一斤。

问燕、雀一枚各重几何？

荅曰：

雀重一两、一十九分两之十三，

燕重一两、一十九分两之五。

术曰：如方程，交易质之，各重八两。

〔一０〕今有甲乙二人持钱不知其数。

甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。

问甲、乙持钱各几何？

荅曰：

甲持三十七钱半，乙持二十五钱。

术曰：如方程，损益之。

〔一一〕今有二马、一牛价过一万，如半马之价。

一马、二牛价不满一万，如半牛之价。

问牛、马价各几何？

荅曰：马价五千四百五十四钱、一十一分钱之六，牛价一千八百一十八钱、一十一分钱之二。

术曰：如方程，损益之。

〔一二〕今有武马一匹，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至阪，皆不能上。

武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上。

问武、中、下马一匹各力引几何？

荅曰：

武马一匹力引二十二石、七分石之六，

中马一匹力引十七石、七分石之一，下马一匹力引五石、七分石之五。

术曰：如方程各置所借，以正负术入之。

〔一三〕今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。

如各得所不足一綆，皆逮。

问井深、綆长各几何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。

甲綆长二丈六尺五寸，

乙綆长一丈九尺一寸，

丙綆长一丈四尺八寸，

丁綆长一丈二尺九寸，

戊綆长七尺六寸。

术曰：如方程，以正负术入之。

〔一四〕今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。

白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青，各一步，而实满斗。

问白、青、黄、黑禾实一步各几何？

荅曰：

白禾一步实一百一十一分斗之三十三，

青禾一步实一百一十一分斗之二十八，

黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，

黑禾一步实一百一十一分斗之一十。

术曰：如方程，各置所取，以正负术入之。

〔一五〕今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过於石。

甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。

问甲、乙、丙禾一秉各重几何？荅曰：

甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，

丙禾一秉重二十三分石之十。

术曰：如方程，置重过於石之物为负。

以正负术入之。

〔一六〕今有令一人、吏五人、从者一十人，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六。

问令、吏、从者食鸡各几何？

荅曰：

令一人食一百二十二分鸡之四十五，

吏一人食一百二十二分鸡之四十一，

从者一人食一百二十二分鸡之九十七。

术曰：如方程，以正负术入之。

〔一七〕今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。

问羊、犬、鸡、兔价各几何？

荅曰：

羊价一百七十七，

犬价一百二十一，

鸡价二十三，

兔价二十九。

术曰：如方程，以正负术入之。

〔一八〕今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五。

问一斗直几何？

荅曰：

麻一斗七钱，

麦一斗四钱，

菽一斗三钱，

荅一斗五钱，

黍一斗六钱。

术曰：如方程，以正负术入之。